Das stimmt beides nicht

§ 540 Gebrauchsüberlassung an Dritte BGB (1) Der Mieter ist ohne die Erlaubnis des Vermieters nicht berechtigt, den Gebrauch der Mietsache einem Dritten zu überlassen, insbesondere sie weiter zu vermieten. Verweigert der Vermieter die Erlaubnis, so kann der Mieter das Mietverhältnis außerordentlich mit der gesetzlichen Frist kündigen, sofern nicht in der Person des Dritten ein wichtiger Grund vorliegt

Das ist der gesetzliche Normalfall, falls es nicht im Mietvertrag anders vereinbart ist. Das Gesetz unterscheidet auch nicht zwischen der Untervermietung eines Teiles oder der ganzen Wohnung.

Bei bestimmten anerkannten Fallgruppen kann der Mieter Anspruch auf die Untervermietung haben. Diese Fallgruppen sind inzwischen sehr weitgehend und unterscheiden zwischen der Untervermietung eines Teiless der Wohnung und der ganzen Wohnung. Ein Auslandsaufenthalt kann ein solcher Fall sein. Einholen muss der Mieter die Erlaubnis dennoch. Vermietet er einfach so unter, ohne die Erlaubnis einzuholen, droht die Kündigung.